From Middle English bodi, bodiȝ, from Old English bodiġ (“body, trunk, chest, torso, height, stature”), from Proto-West Germanic *bodag (“body, trunk”), from Proto-Indo-European *bʰewdʰ- (“to be awake, observe”).
Этимология от ПИЕ хромает тут. Скорее это чисто протогерманское слово, что исключает связь с монгольским. В других индоевропейских слово отсутствует.