Тогда этого башкирского *biarŋaq буду связывать с ерңек-эргэк -ом, а не с бармаком. Это будет гораздо логичным как мне думается.
А если башкиры говорят как "бармак", то это поздняя заимствование из татарского, казахского языка, скорее всего.
Я имел виду "молодые языки" под "поздний язык", ну скажем развивавшиеся, смешавшиеся и включавшиеся внутри себя многих заимствовании и искусственно созданных новшеств (это например в результате грамматики и литературного языка).