Прямых потомков Чингизхана или другими словами "чингизидов", белой кости, среди монголоязычных народов нет.
Первые халхаские ханы ведут свое происхождение, если верить их родословным, от боковой линии, а не от самого Чингизхана. Они ведут происхождение от младшего брата Чингизхана, Касара. Поэтому они не чингизиды в прямом смысле этого слова и потому не могли и не могут быть наследниками ханского трона Чингизхана, которым владели исключительно прямые предки, сыновья, внуки и далее по нисходящей.
Хотя эпитет "Касар" опять же тюркский. Читаем у Рашид-ад-дина:
"... Второй сын был Джочи-Касар. Джочи – имя, а значение [слова] касар – хищный зверь. Так как он был [человеком] весьма сильным и стремительным, то стал обозначаться этим эпитетом."