Я же написал выше, что все зависит кто как читает слово.
Пару примеров.
1)
"Алтан Тобчи" Лубсан Данзана (Москва, 1973 г.):
"... Буху Хатаги подумал: "Младший брат мой Боданчар ушел по течению этой Ене мурен реки."
В сноске пояснение переводчика Н.П. Шастиной - Онон мурен.
2)
"Сборник Летописей" Рашид ад-Дина:
"... Когда Чингиз-хан разбил найманов и убил Таян-хана, он в год барса, в пределах течения реки ______*, водрузил девятиконечный белый бунчук[туг], устроил великое собрание и великий пир; и [там] дали ему имя Чингиз-хан. После этого [Чингиз-хан] выступил с намерением захватить Буюрук-хана, брата Таян-хана; тот же был занят [в это время] охотой на птиц [кушламиши]; [Чингиз-хан] неожиданно захватил его во время охоты и убил. Кушлук и его брат, оба были с [Буюрук-ханом]; убежав, они ушли к реке Ирдышу".
* В сноске переводчик, емнип Хетагуров, поясняет: В ркп. A, S, Р – У?н; С, L, I, В – Уин; у Березина – Онон; и при таком разнобое уверенно склоняется к чтению Березина: "разумеется вышеупомянутый правый приток р. Шилки, из слияния которой с р. Аргунь образуется р. Амур, – р. Онон".
Как видим, только в двух этих источниках как много разных вариантов - Ене, У?н, Уин, Онон.
Поэтому этимологизировать пока, имхо, невозможно.
Одно хорошо, что эта река упоминается в связи с Иртышом!